Browning Group

Analytische Zahlentheorie und ihre Schnittstellen

Was ist der genaue Zusammenhang zwischen dem Addieren und Multiplizieren von ganzen Zahlen? Das ist eine überraschend tiefgehende Frage, die unter verschiedenen Aspekten betrachtet werden kann. Eine natürliche Erweiterung davon untersucht die Folge ganzer Zahlen, die als Lösung einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, das heißt einer diophantischen Gleichung, entstehen. Die Browning Gruppe nutzt eine Mischung von analytischen, geometrischen und algebraischen Methoden, um solche Folgen zu verstehen.

Niedrigdimensionale diophantische Gleichungen haben viele Anwendungen in der Kryptographie gefunden, doch die Eigenschaften höherdimensionaler diophantischer Gleichungen bleiben weitgehend mysteriös. Hilberts zehntes Problem fragt nach einem Algorithmus, um zu entscheiden, ob eine gegebene diophantische Gleichung ganzzahlige Lösungen hat oder nicht. Methoden der mathematischen Logik haben gezeigt, dass das ein unmöglicher Traum ist, aber wir möchten trotzdem wissen, ob ein solches Verfahren existiert, wenn wir nur nach Lösungen mit rationalen Zahlen fragen. Wenn Lösungen bekannt sind, gibt es außerdem weitgehende Vermutungen, die ihren Abstand mit der intrinsischen Geometrie der Gleichung verbinden. In den letzten Jahren haben sich quantitative Methoden als beeindruckend effektiv für die Beantwortung dieser fundamentalen Fragen herausgestellt. Die Browning Gruppe erweitert das zur Verfügung stehende Instrumentarium, um diese Probleme und ihre Verallgemeinerungen zu untersuchen.