Visan Group

Integrierbare und nicht integrierbare hamiltonsche PDEs

Ein Prisma teilt Licht, weil verschiedene Farben sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Dieses als Dispersion bekannte Phänomen ist allgegenwärtig. Es tritt natürlich in der Optik, Magnetohydrodynamik, Quantenmechanik und im Zusammenhang mit Oberflächen- und Innenwellen in der Strömungsmechanik auf. Eine solche Wellenausbreitung wird durch dispersive partielle Differentialgleichungen (Englisch: dispersive PDEs) modelliert, die im Mittelpunkt der Arbeit der Vișan Gruppe stehen. Ein Großteil unserer Intuition und unseres Verständnisses solcher Modelle basiert auf einer bestimmten Unterklasse, die als vollständig integrierbare Systeme bekannt ist und deren reichhaltige algebraische Strukturen den Forscher:innen tiefere Einblicke ermöglicht haben. So wurden beispielsweise Solitonen und Multisolitonen zwar zunächst im Rahmen vollständig integrierbarer Systeme entdeckt, finden seitdem aber zahlreiche Anwendungen in den angewandten Wissenschaften: In der Glasfasertechnik werden Solitonen für die Übertragung digitaler Signale über große Entfernungen eingesetzt, während sie in der Biologie zur Beschreibung der Signalausbreitung im Nervensystem und der kollektiven Bewegung von Proteinen bei niedrigen Frequenzen verwendet werden.

Eine der grundlegendsten Fragen, die wir einem physikalischen Modell stellen können, ist, ob es überprüfbare Vorhersagen liefert. Mathematiker:innen haben dieses Konzept in den Begriff der Wohlgestelltheit (Englisch: well-posedness) zusammengefasst. Ein Schwerpunkt der Vișan Gruppe ist das Verständnis der Wohlgestelltheit zentraler Modelle in dispersiven PDEs. Wir arbeiten auch daran, die Stabilität oder Instabilität spezieller Strukturen wie Solitonen und Multisolitonen zu verstehen und das Langzeitverhalten allgemeiner Lösungen aufzuklären. Ein weiterer Aspekt der Arbeit der Gruppe ist die Konstruktion von Dynamiken für Wellensysteme im thermischen Gleichgewicht. Von zentraler Bedeutung für den Erfolg der Gruppe war eine neue Synthese aus harmonischer Analyse und hamiltonscher Mechanik.