Kaloshin Group

Dynamische Systeme, Himmelsmechanik, und spektrale Rigidität

Die Kaloshin Gruppe hat bei der Untersuchung der Spektralsteifigkeit und Integrierbarkeit für Billardspiele erhebliche Fortschritte erzielt. Motiviert durch die berühmte Frage: „Kann man die Form einer Trommel hören?“ haben wir dazu beigetragen, die Lyapunov-Steifigkeit für expandierende Kreiskarten zu beweisen, die die Sparsity-Bedingung erfüllen. Grob gesagt bedeutet dies, dass, wenn das Lyapunov-Spektrum, d. h. eine von McMullen vorgeschlagene Sammlung von Lyapunov-Exponenten aller periodischen Punkte, dünn besetzt ist, was eine quantitative Form der Abwesenheit mehrerer Eigenwerte darstellt, dann ist eine kleine Störung einer solchen Karte mit demselben Lyapunov-Spektrum glatt konjugiert zur Originalkarte. Wir haben auch beim Bau von Trommeln geholfen, für die es stille Elemente des Laplace-Spektrums gibt. Andererseits haben wir die Existenz lokal integraler Billardspiele in der Nähe der Umlaufbahn mit der Periode 2 und die Analytizität der Konjugationsabbildung zu ihrer Birkhoff-Normalform untersucht. Bemerkenswerterweise haben wir bewiesen, dass eine solche Konjugationsabbildung im Allgemeinen nicht analytisch ist, sondern nur Gerver. Darüber hinaus haben wir einen Diamant-KAM-Satz aufgestellt und die Existenz von Pilz-KAM-Tori in Abwesenheit der Kolmogorov-Nondegeneriertheit untersucht. Wir machen auch Fortschritte bei der Konstruktion isospektraler Deformationen, die eine abzählbare Sammlung spektraler Daten bewahren.
Außerdem haben wir die bisherigen Ergebnisse der Gruppe auf symplektische Billardspiele ausgeweitet. Wir führen auch eine tiefgehende Analyse geodätischer Flüsse auf Tori mit degeneriertem Verhalten durch, mit dem Potenzial, ein Gegenbeispiel zu einer bekannten Ivrii-Vermutung zu erstellen.