Berühmtes „Sandhaufen-Modell“ bewegt sich wie wandernde Sanddünen

Das sogenannte Abelsche Sandhaufenmodell wird seit mehr als 30 Jahren intensiv erforscht, um das Phänomen der selbstorganisierten Kritikalität besser zu verstehen. Dieses Phänomen spielt in einer Vielzahl physikalischer, biologischer und wirtschaftswissenschaftlicher Prozesse eine wichtige Rolle, wie zum Beispiel beim koordinierten Feuern von Neuronen, bei der Ausbreitung von Waldbränden, in der Verteilung der Erdbebengrößen und sogar im koordinierten Verhalten von Ameisenkolonien. Obwohl der Abelsche Sandhaufen als das archetypische Modell zur Erforschung der selbstorganisierten Kritikalität angesehen wird, sind noch etliche Fragen zu seinen Eigenschaften ungeklärt und stellen ein aktives Forschungsfeld dar. Moritz Lang, Postdoc in der Forschungsgruppe von Professor Calin Guet, und Mikhail Shkolnikov, Postdoc in der Gruppe von Professor Tamás Hausel am Institute of Science and Technology Austria (IST Austria) haben nun eine neue Eigenschaft dieses mathematischen Modells entdeckt: Indem sie Sandkörner auf spezifische Weise auf den Sandhaufen „rieseln“ ließen, erzeugten sie Dynamiken, die der Art ähneln wie Sanddünen in der Wüste Gobi oder der Namib entstehen, sich fortbewegen, zusammenstoßen und schlussendlich verschwinden. Anders als Sanddünen in realen Wüsten bestehen jedoch die Dünen in ihrer Arbeit, die in der aktuellen Ausgabe von PNAS veröffentlicht wurde, aus selbstähnlichen fraktalen Mustern, ähnlich der berühmten Mandelbrot-Menge.

Die Regeln des „Sandhaufen-Experiments“ sind recht einfach: Das Modell besteht im Wesentlichen aus einem regelmäßigen „Spielbrett“ mit quadratischen Feldern, ähnlich einem Schachbrett, auf das Sandkörner zufällig fallen gelassen werden. Felder, die weniger als vier Sandkörner beinhalten, bleiben dabei stabil und verändern sich nicht. Wenn sich jedoch mehr als vier Sandkörner auf einem Feld ansammeln, wird das Feld instabil und „kippt“. Bei einem solchen Kippen werden dann vier Sandkörner von dem instabilen Feld genommen und gerecht auf die vier benachbarten Felder verteilt: eines nach oben, eines nach unten, eines nach links und eines nach rechts. Dieser Prozess des Kippens kann dazu führen, dass auch die benachbarten Felder instabil werden und kippen, was wiederum dazu führen kann, dass die nächsten Nachbarn kippen und so weiter – eine „Lawine“ entsteht. Ähnlich wie bei echten Lawinen in den Alpen haben diese Lawinen im Sandhaufenmodell keine charakteristische Größe, und es ist äußerst schwierig vorherzusagen, ob das nächste Sandkorn eine große Lawine verursacht, oder überhaupt keine.

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Das Sandhaufenmodell wird zwar aufgrund der Einfachheit dieser Regeln regelmäßig als Beispiel in Einführungskursen zur Programmierung an Universitäten oder sogar Schulen verwendet, weist jedoch verschiedene mathematische und physikalische Phänomene auf, die bis heute ungeklärt sind – trotz mehr als drei Jahrzehnten intensiver Forschung. Zu den faszinierendsten dieser Phänomene gehört das Auftreten von fraktalen Mustern im Sandhaufen. Diese fraktalen Sandhaufen zeichnen sich durch sich wiederholende Muster aus, bei denen immer wieder dieselben Formen erscheinen, jedoch in immer kleineren Varianten – man spricht von selbstähnlichen Mustern. Das Auftreten dieser fraktalen Muster hat sich bisher jeder mathematischen Erklärung entzogen. Auch die Forscher am IST Austria konnten dieses mathematische Rätsel auch nicht lösen. Stattdessen machten sie diese Rätzel noch ein wenig mysteriöser, indem sie zeigten, dass diese fraktalen Sandhaufen scheinbar kontinuierlich ineinander übergehen können. Sie konnten Filme produzieren, in denen die fraktalen Muster wahlweise, abhängig von dem Standpunkt des Betrachters, entweder Dynamiken zeigen die der Fortbewegung realer Sanddünen ähneln, oder aber „psychedelischen Filmen“ aus den 70er Jahren.

Eine mathematische Frage nicht zu lösen, sondern nur noch mysteriöser erscheinen zu lassen, scheint auf den ersten Blick wissenschaftlich nicht zielführend zu sein. Die beiden Wissenschafter glauben jedoch, dass ihre „psychedelischen Filme“ der Schlüssel zum besseren Verständnis des Sandhaufenmodells und damit möglicherweise auch vieler anderer physikalischer, biologischer oder sogar wirtschaftlicher Phänomene sein könnten. „Wir haben sozusagen universelle Koordinaten für Sanddünen gefunden“, sagt Mikhail Shkolnikov, „Im Prinzip können wir jetzt jede Düne in der Wüste benennen, identifizieren und katalogisieren.“ Moritz Lang, ein theoretischer Biologe, fügt hinzu: „Der Schlüssel zum Verständnis jedweder physikalischen oder biologischen Phänomene ist die Folgen dieser Phänomene zu verstehen. Je mehr zwingende Konsequenzen eines Phänomens wir kennen, desto schwieriger wird es wissenschaftliche Hypothesen zu entwickeln, die mit all diesen Konsequenzen übereinstimmen. In diesem Sinne stellt die Kenntnis aller möglicher Sanddünen und der Art ihrer Fortbewegung viele Einschränkungen dar, und wir hoffen, dass wir dadurch am Ende genügend Heu vom Heuhaufen entfernen können, um die Nadel zu finden.“

Die beiden Forscher sehen viele Anwendungsmöglichkeiten ihrer theoretischen Arbeit auf reale Probleme, wie in der Vorhersage von Erdbebengrößen, in der Funktionsweise des menschlichen Gehirns, in der Physik oder sogar in den Wirtschaftswissenschaften: „In all diesen Bereichen finden wir Heuhaufen, die sich ähneln, sehr ähneln. Vielleicht stellt sich am Ende heraus, dass es sich in Wirklichkeit immer um denselben Heuhaufen handelt, und dass es darin nur eine Nadel gibt die man finden kann.“

Moritz Lang promovierte im Frühjahr 2015 an der ETH Zürich mit seiner Arbeit „Modular identification and analysis of biomolecular networks“ und kam im August 2015 ans IST Austria. Mikhail Shkolnikov promovierte an der Universität Genf und forscht seit 2017 am IST Austria. Die Forschung wurde am IST Austria durchgeführt und erhielt eine Förderung aus dem ISTFELLOW-Programm, einem Marie Skłodowska-Curie COFUND-Grant, kofinanziert durch das IST Austria und die Europäischen Union im Rahmen des Forschungs- und Innovationsprogramms „Horizon 2020“. Dieses Programm wurde durch ein weiteres COFUND-Stipendium abgelöst, das für Bewerbungen von qualifizierten Post-DoktorantInnen aus aller Welt offen steht: dem ISTplus-Programm.

Publikation:

Moritz Lang & Mikhail Shkolnikov: Harmonic dynamics of the Abelian sandpile, PNAS 2019, DOI: 10.1073/pnas.1812015116