Die Spitze des mathematischen Eisbergs

Symmetrien sind von fundamentaler Bedeutung in der Physik. Die Suche nach ihnen und ihre Analyse ermöglichten Physiker:innen, eine Theorie für einen ganzen Zoo von Teilchen zu entwickeln, aus denen unser Universum besteht. Mathematiker:innen hingegen konzentrieren sich auf die abstrakten Strukturen hinter den Symmetrien. Tamás Hausel, Professor am Institute of Science and Technology Austria (ISTA), entwickelte gemeinsam mit dem Oxford-Wissenschaftler Nigel Hitchin eine ausgefeilte Theorie rund um die so genannten Higgs-Bündel. Sie wirft ein neues Licht auf Mysterien, die Physiker:innen schon lange zu lösen versuchen. 

Mathematik erscheint Ihnen womöglich weniger abenteuerlich als eine Polarexpedition, aber die Schönheit dieses eroberten abstrakten Eisbergs könnte Ihre Meinung ändern. Die Pioniere dieser Mission sind Tamás Hausel, Mathematiker am Institute of Science and Technology Austria (ISTA), und Nigel Hitchin von der Universität Oxford. Hitchin hat 1987 den Begriff der Higgs-Bündel entwickelt, weshalb sie auch die alternative Bezeichnung Hitchin-Paare führen. Einfach ausgedrückt ist ein Higgs-Bündel ein zweidimensionales Äquivalent des berühmten Higgs-Bosons, eines fundamentalen Teilchens, das in der vierdimensionalen Raumzeit beschrieben wird.

Hausel, der vor mehr als zwanzig Jahren bei Hitchin promoviert hat, arbeitet seit jeher an der Schnittstelle von kombinatorischer, differentieller und algebraischer Geometrie und verbindet die weit entfernten Gebiete der Physik und der Zahlentheorie mit einem vielseitigen Instrumentarium mathematischer Ansätze. Nun schafft ihre erste Zusammenarbeit nicht nur Klarheit in ihren früheren Theorien, sondern beantwortet auch mehrere drängende Fragen auf diesem Gebiet und möglicherweise sogar in der Teilchenphysik. „Die erste mathematisch saubere Theorie in einem Bereich zu haben, der aus der mathematischen Physik heraus motiviert wurde, ist enorm spannend“, sagt Hausel. „Hoffentlich wird diese Arbeit in der Geschichte der Entwicklung der geometrischen Darstellungstheorie von Bedeutung sein.“

Seit den 1930er-Jahren wissen Wissenschafter:innen, dass es eine natürliche Verbindung zwischen Teilchenphysik und Darstellungstheorie gibt. Die Darstellungstheorie ist ein Zweig der Mathematik, der algebraische Strukturen untersucht, etwa abstrakte Transformationen von einem Zustand in einen anderen. Eine Darstellung macht dann die Struktur greifbarer; sie verwendet konkrete Zahlen und Operationen. Von Symmetrie spricht man, wenn die Transformation hinterher zu einem identischen Objekt führt. In unserer Alltagserfahrung ist dies der Fall, wenn wir etwas um 360 Grad drehen oder zweimal spiegeln. Betrachtet man etwa Schneeflocken, bei denen auch Drehungen von nur 60 Grad für dasselbe Bild ausreichen, so zeigt sich intuitiv, dass es mehrere Klassen von Symmetrien geben muss. Für kontinuierliche Transformationen, d. h. solche mit einer unendlichen Anzahl von inkrementellen Zwischenschritten, werden solche Klassen Lie-Gruppen genannt. Diese Art von Symmetrie tritt zum Beispiel auf, wenn man einen Kreis dreht. Er sieht immer gleich aus. Das Konzept der Lie-Gruppe mag sehr speziell erscheinen, ist jedoch für das Verständnis der physikalischen Grundgesetze von zentraler Bedeutung. Zu den Lie-Gruppen gehören die raffiniertesten und abwegigsten Symmetriekonzepte der Elementarteilchen aus Teilchenphysik und Stringtheorie.

Die Erkundung des verborgenen Eisbergs

Die Analogie mit einem schwimmenden Eisberg zeigt die Bedeutung der mathematischen Expedition von Hausel und Hitchin. Der Eisberg ist mit einer Lie-Gruppe verbunden: Die meisten ihrer Eigenschaften liegen unter der Oberfläche verborgen. Dort unten befinden sich ihre interessanten nützlichen Eigenschaften. „Alle konzentrieren sich auf den Boden“, verweist Hausel auf Mathematiker:innen und theoretische Physiker:innen gleichermaßen. „Dort ist es äußerst kompliziert. Alles unter der Oberfläche ist noch weitgehend ein Rätsel.“ In ihrer Theorie konstruieren Hausel und Hitchin aus der fraglichen Lie-Gruppe ein abstraktes mathematisches Objekt, einen so genannten nilpotenten Kegel von Higgs-Bündeln.

Der nilpotente Kegel bezieht sich auf den Eisberg. Glücklicherweise ist die Spitze seiner Struktur völlig verständlich. Sie kann mit Hilfe von Gewichtungsdiagrammen verstanden werden, die als visuelle Darstellungen der charakteristischen Begriffe der Lie-Gruppe dienen. „Von der Spitze können wir Rückschlüsse auf das Unterteil ableiten. Wir können von der Spitze des Eisbergs aus die gesamte Darstellungstheorie der Lie-Gruppen rekonstruieren. Die anspruchsvollen Fragen dort unten, die sehr technisch sind, sind zwar noch schwer zu erreichen“, räumt Hausel ein, „aber wir haben eine Idee, wie man die Darstellungstheorie rekonstruieren kann, die – einmal bewiesen – zu neuen, weitreichenden Erkenntnissen führt.“

Der metaphorische Eisberg hat auch horizontale Schichten, die von der Spitze aus analysiert werden können. Es handelt sich dabei um Multisektionen des Hitchin-Systems, das ebenfalls von Nigel Hitchin eingeführt wurde und inzwischen weitgehend als die allgemeinste Beschreibung integrierbarer Systeme in der mathematischen Physik anerkannt ist. In der Publikation wird das Hitchin-System wie durch einen Röntgenstrahl durchleuchtet, der von der Spitze des nilpotenten Kegels ausgeht. Die Betrachtung von Hitchin-Systemen auf diese Weise ist sowohl elegant als auch nützlich. Hausel erklärt, warum: „In der mathematischen Forschung werden einem die Spielregeln nicht vorgegeben. Man muss jene Regeln erfinden, die zu interessanten Konsequenzen führen. Und genau das ist uns in dieser Arbeit gelungen: Wir haben ein sehr schönes Regelwerk erdacht, durch das man ein wunderbares Universum mit schönen Mustern erhält – wie den Eisberg mit seinen Gewichtungsdiagrammen – und das am Ende das Verständnis des realen Universums befördern kann.“

Publikation

Hausel & Hitchin. 2021. Very stable Higgs bundles, equivariant multiplicity and mirror symmetry. Inventiones Mathematicae. DOI: 10.1007/s00222-021-01093-7